서울대 가형사탐 유불리. 한방에 정리합니다.

내용이 많고, 스크롤의 압박이 있는 글입니다.
특히 중간중간에 이해해야 하는 부분들이 많습니다.
내용이 어렵다면 맨 밑으로 내리면 결론이 있고 결론부분만 보셔도 됩니다.



서울대의 경우 인문계열 학과를 지원할 때,  수리영역 "가"형을 선택시 가산점을 부여받습니다.

서울대에 지원할 때 인문계열 학과의 경우, 수리영역 "가"형을
선택시 가산점을 받습니다.

최근들어 가형사탐 유저들의 눈에 띄는 증가로, 서울대 수리 가형 가산점에 대한 논란과 관심이
촉발되고 있는데요,

이에 대해서 오늘 자세하게 살펴보도록 하겠습니다.

우선 서울대에서 점수를 반영할 때,

서울대학교의 점수 반영공식은 다음과 같습니다.

(인문계열 기준)

수리영역 표준점수에 1.25배를 곱하여 반영하는게 특징인데요,

한편, 가산점을 받는 수리 가형 응시자의 경우 위 식에 가산점이 더 해집니다.

과연 이 가산점이 어느 정도인지, 얼마 정도의 위력인지에 대해서 알아보겠습니다.

우선 가형을 응시하면 가산점만 붙는것으로
생각하는데,

가산점 이외에도 가형의 점수를 나형의 점수로 바꾸는 과정에서 점수의 변동요인이 발생합니다.

이를 두고 “형간변환으로 인한 점수변동” 으로 지칭합니다.

이러한 형간변환으로 인한 점수 변동이 나타나는
이유로는, 인문계열 모집단위에 기본적으로 수리 나형이 원칙이지만,

가형
응시자가 지원하여 서로 다른 두 시험의 점수체계가 혼합되었기 때문입니다. 당연히 합격자를 선정하는데
있어서,

두 개의 각각 다른 점수체계가 존재하는 것보다, 어느
한 방향으로 이를 일치시켜서 동일화한 후 합격자를 사정하는게 합리적이기 때문입니다. 

즉, 가형응시자의
인문계열 지원에 대해서 이야기 해보자면, 가산점에 대해서 논의하기 이전에 가형의 점수를 나형의 점수로
변환하는 과정에 대한 이야기가 선행되어야 합니다.

(1) "수리 가" -> " 수리 나"
형간 점수 변환

이런식으로 가형의 점수는 나형으로 변환하여 반영되는데, 나형으로 변환된 점수에서 본래 가형에서
얻은 표준점수의 차이는

가장 위쪽에서는 
-1점으로 손해이고, 1등급 컷 근처에서는
4점 정도, 2등급 컷 근처에서는 5점 정도로
산출됩니다.

만점권에서는 오히려 불리했는데, 그 이유는, 가형으로
만점을 받은 경우 나형으로 만점을 받은 것과 동일하게 취급하는데

작년의 경우 가형의 표점만점이 나형에 비해 높았기 때문입니다. 하지만 일반적으로는 나형의 표점만점이

가형의 표점만점보다 높은게 정상이므로 정상적인 난이도에서는 마이너스 값이
나오기 어렵습니다.

한편 이러한
점수변환은 어떻게 이루어질까요?

기본원리는 가형의 백분위와 나형의 백분위가
같아지는 곳에 점수값을 위치시키는 것입니다.

가형 백분위 100%를 맞았다면, 나형 백분위 100%와 같은 실력으로 간주하여

나형 백분위 100%에 해당되는 표준점수 값을 변환표준점수 값으로 받습니다.

즉, 기본적인
원리는 가형의 백분위를 나형으로 옮겼을 때의 표준점수 값을 받는 것 입니다.

그런데,
이렇게 가형에서 나형으로 점수를 변환할 때, 점수가 상승하는 요인은 무엇일까요?

이는 표준점수와 백분위의 특성 때문입니다.

표준점수의 경우

와 같은 식으로 산출됩니다.

이 때 표준점수와 원점수와의 관계는 다음과
같이 압축됩니다.

원점수를
x라 하고 표준점수를 y라 하면, y=ax+b의
식이 나옵니다. 이는

(원점수/표준편차)*20 – (전체평균/표준편차)*20 + 100으로 식을 변환할 수 있고,

이 때 표준편차와 전체평균은 정해져 있는 값인 일종의 상수이므로,

표준점수
= (원점수)X(20/표준편차) + [100 – (평균/표준편차)]

로 묶이므로,

표준점수(y)
= (x)*a + b의 형태가 됩니다. 이는 일차직선의 형태입니다.

즉 원점수가 높으면 높을수록 표준점수는
이에 비례해서 나옵니다.

그리고 이 때, 기울기인 a는(20/표준편차)이므로, 해당 시험의 표준편차가
20보다 크면,

기울기는 1보다 작아지고, 해당 시험의 표준편차가 20보다 작으면 기울기는 1보다 커집니다.

한편, 원점수 1개에는 표준점수 1개의 값이 대응됩니다. 중복해서 대응될 수는 있지만,

원점수 값이 존재하는데 표준점수 값이
존재하지 않는 경우는 없습니다. 단 역은 성립되지 않습니다.

이
말은 원점수 0~100점 사이에서 배점상 나올 수 없는 1점과 99점을 제외하고는 각각 표준점수를 가지고 있다는 말입니다.

단, 표준점수의 경우 0~200점 모두가 존재하는 것은 아닙니다.

흔히 표준점수 증발이니, 뻥튀기니 하는 소리들도 이걸로 설명이 가능합니다.

보통 문제가 어려우면 어려울수록 표준편차는
작아집니다. 이 경우, 기울기가 1보다 커지게 되고,

원점수가
0~100의 사이에 존재하므로 이 경우 표준점수의 최고값과 최저값의 차이는 100을 넘어가게
됩니다.

(20/표준편차)가 기울기인데, 표준편차가 20이하로 작아질 경우
a의 값은 1을 넘어버립니다.

당연히 y=ax+b 이고 b는 단순 상수이므로, a가 1보다 크면, 표준점수의
최고값과 최저값의 차이는 100을 넘어버립니다.

이 경우,
흔히 이야기 하는 표준점수 뻥튀기가 일어납니다.

원점수의 구간은 0~100사이인데, 표준점수의 최고값과 최저값의 범위는 100을 넘어가게 되는 것이며,

이 때 어딘가에 랜덤으로 원점수는 1점이 차이나지만, 표준점수로는 2점이
차이나는 구간이 발생할 수 밖에 없게 됩니다.

가령 원점수로는 최고점과 최저점의 차이가
항상 100점일수밖에 없지만,

표준편차가 20이하라서 표준점수의 최고점과 최저점의 차이가 105점이라면,

원점수로는 1점차이지만 표준점수로는 2점 차이나는 구간이 총 5군데 발생하게 됩니다.

한편, 표준점수가
소수점까지 기재된다면, 이러한 현상은 발생되지 않습니다.

만약
표준점수가 소수점까지 기재된다면, 위의 예와 같은 경우 원점수 1점에
표준점수 1.05점의 상승이 이루어지게 되고,

모든 구간에서
이와 같은 점수차이는 유지됩니다.

하지만 현행 수능점수체계에서 표준점수의 소수점을 인정하지 않고 소수점
첫째 자리에서 반올림하여 정수로 표기하므로,

반올림 현상으로 인해 한 번에 2점이 차이나는 구간이 발생할 수 있는 것입니다.

실제 예를 들어보면 이와 같습니다. 원점수 82-83구간과 63-62구간에서
원점수로는 1점차이지만 표준점수로는 2점차이가 나는 구간이
발생했습니다.

이는 반올림전에는 1.05씩 증가하지만, 소수점 차이가 계속 누적되다가 이것이 0.5를 넘는 순간 반올림되어 1이 더 추가되기 때문입니다.

반대로 표준점수 증발의 경우 20/표준편차)가 기울기인데, 표준편차가 20이상으로 커질 경우 a의 값은
1보다 작아집니다.

당연히 y=ax+b 이고 b는 단순 상수이므로, a가 1보다
작으면, 표준점수의 최고값과 최저값의 차이는 100보다 작아집니다.

이 경우 다른 원점수임에도 반올림으로 인하여
같은 표준점수가 나올 수 있습니다.

작년도 외국어영역의 경우 1등급 커트라인이 98점이 아닌
97점이었는데, 이는 98점과 97점이 표준점수로 반올림되어 같은 점수가 산출되었기 때문입니다.

 [ http://orbi.kr/bbs/board.php?bo_table=united&wr_id=2133822&sca=&sfl=mb_id%2C1&stx=lily ] (예전에 제가 올린 글입니다. 참고하실분은 읽어보세요)

이렇게 표준점수는 원점수, 그리고 표준편차와 밀접한 관련을 가지고 있습니다.

한편, 이
이야기를 왜 했냐면, 지금 살펴본 바대로라면 표준편차가 20보다
큰지 혹은 작은지에 따라서

원점수와 표준점수의 관계가 어떻게 되는지를 보았습니다.

모든 경우에 다 그런 것은 아니지만, 요즘 수리 가형의 경우 표준편차가 20근처로 유지되고,

수리 나형의 경우 표준편차가 20보다 항상 큽니다. 이 말은 즉, 가형의 경우 1점
틀릴 때 마다 표점으로 1점씩 깎이는 것이고,

나형의 경우
원점수 4점에 표점이 대략 3점씩 깎입니다.

즉, 같은 원점수 감점이면 가형에 비해 나형의 점수가 만점에서부터
비교적 덜 깎인다는 이야기 입니다.

즉, 이
말은 만약 가형과 나형이 같은 분포형태를 띠고 있다면,

두 시험에서 같은 백분위이면 나형에 비해서 가형에서
표준점수로 더 많이 깎인다는 이야기 입니다. 즉, 백분위
대비 표준점수가 나형이 가형보다 비교적 높게 나옵니다.

그런데 가형의 점수를 나형으로 변환할 때, 가형의 백분위를 나형의 백분위와 동치시켜서 해당되는 표준점수를 주게 됩니다.

이 말은 가형의 백분위를 나형의 백분위로 옮겨서 표준점수를 준다면, 나형으로 옮길 때 당연히
높은 표준점수를 받을 수 있게 되는 것을 의미합니다.

그래서 가형에서 나형으로 변환할 때 대부분
점수가 오르게 됩니다.

작년 수능 기준으로는 대략 1컷과 부근에서 4~5점 정도의 상승요인으로 작용했고,

재작년
2011수능기준으로는 1컷에서는 8점, 2컷에서는 6점 정도의 상승요인으로 작용했습니다.

이는 가형이 점수따기 힘든 만큼 통계적으로 표준편차가 나형보다 작기 때문입니다.

거의 대부분의 시험들은 난이도가 쉬우면
쉬울수록 표준편차가 크고, 어려울수록 표준편차가 작습니다.

단, 물론
작년, 재작년 모두 가형의 표준점수 만점이 나형의 표준점수보다 높았기 때문에,

가형을 만점받고 나형으로 지원한 경우 표준점수에서 감점이 있었습니다. 즉
가형 만점권은 다소 불리할 수 있습니다.

하지만, 나형의
표준점수가 더 높은 시험에서는 이러한 현상은 발생하지 않습니다.

한편 이러한 형간전환에 따른 점수 상승
효과는 위력적인데요, 이는 맨앞에서 다룬 서울대식 점수 환산 때문입니다.

서울대식 점수 환산은 위와 같으므로, 형간전환에 따라서 5점의 상승분이 발생했다면 여기에 1.25를 곱한 값이 최종적인 점수상승분에 해당됩니다.

즉 형간전환으로
인한 변동분(1등급~2등급 사이에서는 대부분 +값)에 1.25배까지
곱해서 들어가게 됩니다.

(2) 수리 가형의 가산점

한편, 앞서
살펴본 형간변환에 따른 점수 변동은 점수구간에 따라 가형 만점권에서는 다소 불리할 수 있고,

가형 1등급컷~2등급컷 사이에서 가장 유리했습니다. 하지만 서울대학교에서는 수리 가형응시자에게 점수에 상관없이 가형응시에 따른 가산점을 줍니다.

이 가산점은 점수구간에 따라 다르지 않고, 모든 점수 구간에서 일정한
점수입니다.

그리고 이 때 수리 가형의 가산점은 수리
나형의 통계치를 바탕으로 부여됩니다.

왜 그럴까요? 서울대에서
가산점을 줄 때 수리 나형을 기준으로 가산점을 주는 이유가 다 있습니다.

보통은 가형을 치면 가산점을 주는 것이므로, 가형 점수의 일정
부분을 가산점을 주어야 한다고 생각하겠지만 앞서 형간변환의 과정을 통해서,

가->나 형의 점수 변환이 끝났으므로, 가형의 점수가 전부 나형으로
바뀐 상태입니다.

즉, 가형을 응시한 서울대 인문계열 지원자들도
나형식 기준의 점수가 산출이 끝난 상태입니다.

그렇기에 점수 기준이 나형으로 바뀌었으므로, 나형으로 가산점을 부여합니다.

한편 가산점에 대해서 2012학년도 서울대 정시모집요강 8페이지를
보면,

수리 ‘나’형이 원칙인 모집단위에 지원한 수리 ‘가’형 응시자의 가산점:

수리 ‘가’형과 ‘나’형의 백분위를 활용하여 자체적으로 표준점수를 산출한 후,

백분위 100(또는 최고점)과 백분위 50(복수일 경우 최고점)에 해당하는

표준점수를 이용하여 백분위 10 차이에 해당하는 평균적인 표준점수를 가산점으로 부여함

 이라고 되어 있습니다. 즉 가산점을 주는 방법은 다음과
같습니다. 

서울대식으로 형간변환을 거쳐서 나온 백분위
100%, 90%, 80%, 70%, 60%, 50%에 해당되는 표준점수 값을 도출합니다.

그리고 각 값에 해당되는 표준점수에서 아랫값에 해당되는 표준점수를 빼줍니다. 이렇게 해서 발생된
차이값을 평균하여 5로 나눈 값을 가산점으로 줍니다.

이는 수학적으로 백분위 100일 때의 표준점수를
K(100), 백분위 90일때의 표준점수를 K(90)이라
할 경우,

[K(100) – K(90)] +
[K(90) – K(80)] + [K(80) – K(70)]+ [(70) – K(60)]+ [k(60) – K(50)] / 5 = 가형 가산점

으로 표현할 수 있습니다. 이는 또한 [K(100) – K(90)] +
[K(90) – K(80)] + [K(80) – K(70)]+ [(70) – K(60)]+ [k(60)
– K(50)] / 5 이므로

결국 [K(100)-K(50)] 
/5 = 가형가산점 이 됩니다.

즉 나형 백분위 100에 해당되는 표준점수에서 가형 백분위
50에서 나형의 점수로 변환되는

형간변환점수에 해당되는 표준점수를 빼주고 이 값을 5로
나눈 값이 가산점입니다.

작년도 값을 보면, 가형 만점의 경우 나형으로 형간변환시 표준점수가 138점이었고,

가형의 경우 백분위
51과 48이 있었는데, 각 값은 나형으로 형간변환시 98과 95.5입니다. 이
때 50의 경우 51과
48사이를 1:2로 쪼개서 만들 수 있는데,

백분위 50에 대응되는 나형으로 형간변환시 나올 수 있는 표준점수 값 역시 98과 95.5를 1:2로 쪼개서 부여합니다.

이 말은 즉슨 백분위 50에 해당되는 가형응시자의 나형 표준점수는 98과 95.5를 1:2내분하는
지점인, 97.16에 해당됩니다.

즉, 만점인 138점에서 백분위 50에 대응되는 97.16점을 빼주면, 40.84점이 나오고 이를 5로 나누면 8.16점이 나옵니다. 이 값이 서울대에서 작년에 부여한 가산점 8.16점입니다.

한편, 이런식으로 가형의 점수를 나형으로 형간변환한 후 나형의 만점에서 가형의 백분위 50에 해당되는 나형의 형간변환점수를 뺴주게 되는데,

이 말은 쉽게
말하면 가형의 점수를 나형으로 바꾼 후에 나형의 점수를 바탕으로 가산점을 주는 것입니다.

즉, 가형의 가산점은 나형의 난이도에 따라 비례해집니다. 나형이
어렵게 출제되어 위와 아래의 차이가 벌어지면 벌어질수록 가산점 역시 커지며,

나형이 쉽게 출제되어 위와
아래의 간격이 작아지면 작아질수록, 가산점 역시 작아집니다.

이
경우 어차피 변별력이 없는 경우라 대부분이 비슷비슷한 점수대를 형성한 경우라서 가산점이 작더라도 그 위력은 그대로 입니다.

즉 변별력이 강한 수능 때는 가산점 역시 커지고, 변별력이 약한
수능 때는 가산점 역시 작아집니다.

그렇다면 일반적으로 통상적인 수리 가형 가산점은 어느 정도를 생각하면 될까요?

대략 문제가 쉬울 때는 8점 정도를 생각하면 됩니다. 반대로
나형의 문제가 어렵게 출제되는 경우에는 14점까지를 생각하면 됩니다.

하지만, 교과부와 평가원이 만점자 1%기조를
그대로 유지한다는 전제하에서는 8~10점 사이가 수리 가형의 가산점으로 생각해볼 수 있는 점수구간입니다.

이렇게 되면, 가형 1등급~2등급 사이대에서 형간변환으로 상승되는 점수와, 가산점을 합치면 원점수로
약 15점 정도의 점수상승 요인이 발생하게 됩니다.

즉 나형 100점과 가형 85점이 비슷해집니다.

실제 작년도 결과를 보겠습니다.

최종점수란, 나형의 경우
표준점수에 1.25를 곱한 값이고, 가형의 경우 나형으로
변환한 후 1.25를 곱한 값에 8.16을 더한 값입니다.

딱 봐도 알겠지만, 2등급 중하위와 나형 만점이 비슷하고, 3등급 위쪽과 나형 1등급이 비슷합니다.

원점수로 가형과 나형이 15점이
차이나도 비슷한 값이 나왔습니다. 한편, 원점수로 나형과
가형이 15점 차이 이내로,

가형의 점수를 85점이상 획득했다면 이는 획득한 점수만큼 위로 올라갑니다.

가령 가형에서 93점으로
두 문제 틀렸다면, 서울대식점수로 나형 만점자보다도 6점
먹고 들어갑니다.

그렇기에

제가….

여러분께 가형사탐하라고 하는 이유가 바로 여기에 있습니다.

나형에서 만점권에 수렴하는 수학적인 감각이 있는 경우라면 가형쳐도 2컷내지 3등급 위쪽이 안나올린 없을텐데,

이 점수가 나형쳤을 때 만점권 점수내지 1등급 점수와 동급입니다. 즉, 나형 만점권인분들은 가형쳐도 그 점수 그대로 전부 보존됩니다.

여기에 본인 노력이 더해져서 가형에서 2등급 위쪽으로 맞으면 맞을수록
그 점수는 나형을 초월하여 얻은 점수가 됩니다.

이제 가형사탐유저가 어느 정도 유리할지 대충 감이 잡히나요 다들?

연고대 중상위권 이상 학과에서 반수해서 어차피 서울대만 목표로 할 사람들이라면,

가산점없는 연고대는 어차피 정시에서 지원하지 않고, 가산점이 있는 서울대만 지원할테니까 왠만하면 가형치는게 낫다는 이유이구요.

(단 고3의경우 괜히 가형건드려서 점수 안나오면 연고대도 못 갈 수도 있습니다.)

그리고 서울대 이외에 연고대 및 서성이하로는 가형에 대한 가산점이 없습니다. 어려운 가형의 난이도에 따른 별도의 보상이 없습니다.

즉, 이 말은 가형에 대한 효과가 이 정도로 강력한 편이지만, 문과에서 최상위권이 아니면 가형은 꿈도 꾸지 않는게 좋습니다.

수리 가형이 수리 나형에 비해 공부량이 3~4배나 되기 때문입니다.

가형 사탐에 대해서 이걸로 깔끔하게 정리된 것 같습니다.

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