[칼럼]수학성적은 갑자기 오른다. 백분위78->99의대

안녕하세요. 저는 수학 현역3->재수1로 한의대에 입학한 후, 높은1로 올려서 의대로 옮긴 케이스입니다. 

수험생활동안 경험한 2번의 수학성적의 계단식 상승에 대해 얘기해보려합니다.

수능 수학성적은 차근차근 꾸준히 오를까요?

아닙니다. 모든 수험생들은 필연적으로 정체구간을 맞이하게 됩니다. 

(물론 처음 입문해서 개념과 기출을 풀어볼때는 성적이 당연히 오릅니다.)

이때 시간은 꾸준히 투자하는데, 성적은 안 오르고, 맞게 하고 있는지 감이 안 잡혀 답답해집니다.

실력은 오른거 같은데도 성적은 안올라 고민이 되기도 하구요.

그런데 이 구간을 돌파하면 계단식으로 성적이 갑자기 팍 오르게 됩니다.

신기하게도 불과 얼마전과 달리 문제를 풀 때 시야가 넓어지고 사고가 간결해지는 느낌을 받습니다.

오늘은 이 정체구간을 돌파하기 위해 제가 했던 '두가지'에 대해 얘기해보려합니다.

(제가 생각하는 수능성적 그래프를 러프하게 그려보았습니다.)

1) 필연적 사고를 학습하고 체화해라

수학 문제의 조건과 단서들에는 논리적인 인과관계가 있고 그에 따라 거쳐야하는 풀이의 단계가 있습니다. 

쉬운 문제는 A-B, 어려운 문제는 A-B-C-D.. 처럼 난이도가 높을수록 그 단계가 복잡하겠죠.

그렇기 때문에 특정 조건을 보면서 마땅히 떠올리고 전개해야 하는 사고과정이 있습니다.

수능수학 수준에서 수험생이 마땅히 해야하는 사고를 ‘필연적 사고’라고 하겠습니다.

Ex) ‘최댓값, 최솟값 조건에 주목하자.’, ‘부등호에서 =이 되는 지점에 주목하자’, ‘원의 중심에서 현으로 수직이등분선을 긋자’, ‘도형에서 평행선이 나오면 동위각, 엇각등을 확인하자’,  ‘원에서 원주각과 중심각의 관계를 생각하자’ 등등 엄청 많이 있겠죠.

필연적 사고를 염두하고 공부하는 사람과 문제를 아무 생각 없이 기계적으로 푸는 사람은 큰 차이가 나게 됩니다.

이것들은 이제는 많은 강사들이 강조하고 가르치는 부분입니다.

이 ‘필연적 사고’들을 학습하고 그에 해당하는 문제들을 풀며 체화하는 것이 중요합니다.

처음 공부를 할 때는 이 사고 자체를 어느정도 외우며 공부하는 것도 괜찮습니다.

그러나 강의를 들을때, 해설지를 볼때는 이해되지만 나중에 직접 풀 때는 막히는 경우들이 꽤 있습니다. 

이는 강사나 해설은 문제의 인과관계의 모든 부분을 짚어줄 수 없기 때문입니다.

여기에는 직관이 포함되어서일 수도 있고 시간때문에 생략이 될 수도 있겠죠.

그렇기때문에 개인마다 애매하면서 답답한 지점을 경험 해봤을것입니다.

그리고 이 답답한 지점은 자신의 약점부분이기 때문에 넘어가면 이후에도 반복될 확률이 높습니다.

그럼 이 부분은 어떻게 해결해야 할까요? 

2) 항상 의문을 가지기

먼저, 문제를 풀 때 어떤 단계에서 자신이 막혔는지를 파악해야합니다.

그리고 단순히 ‘이건 이렇게 해야하는구나’로 끝내면 안됩니다. 

‘왜 난 이렇게 못했는지, 또 다음에는 어떻게 해야 할 수 있는지’를 고민해야합니다.

이를 통해 ‘1.필연적사고’를 확장해 개인마다의 빈틈을 채워야합니다.

많은 사람들이 문제를 풀어내는 핵심적인 아이디어에만 집중하는 경향이 있는데

정작 자기가 거기까지 도달하지 못한 이유에 대해서는 생각해보지 않습니다.

그러나 수능시험장에서는 막히는 부분이 생길 때 아무도 도와주지 않고 혼자 돌파해야 합니다.

다소 추상적이기 때문에 예시를 들어보겠습니다.

예시1) 6월모의평가 공통21번 

목표: 문제의 해설X (다른 다양한 해설이 있을 수 있음) 

       1.필연적사고 2.의문 가지기의 예시를 위해서 O

1.부등호에서 =인 지점, 최댓값/최솟값에 주목하자. (필연적 사고)

문제의 (가), (나) 조건에서 매우 특징적인 조건들을 줍니다.

->만약 (나)조건으로 몇 개의 개형들을 소거하지 못했다면?

->’ f(x)=k일 때 원소의 개수’라는 조건 자체를 이해하지 못해서인지 or ‘3개이상’일 때 3개에 주목하지 못하고 머리가 복잡해져서인지 등등 자기가 왜 못했는지를 생각해봅니다.

-> 임의의 k선을 그었을 때 사차함수 그래프의 개형마다 만나는 개수가 다르구나. 이를 통해서 그래프의 개형들을 소거할 수 있구나. 

‘부등호에서 =인 지점, 최댓값/최솟값에 주목하자’에서 ‘사차함수에서 =인 지점, 최댓값, 최솟값은 개형을 소거하고 특정해나갈 때 중요하니 주목하자’등으로 확장할 수 있겠죠.

-> ‘다른문제에서는 3이상이 아닌 다른 숫자를 주거나, k의 값이 아닌 x값을 제시할 수도있겠다.’ 그럼 어떻게 해야할지 등의 생각까지 해보면 더 좋겠죠.

2. 개형 특정하기

남은 케이스중에 문제에서 제시된 x=0,1,2에서의 조건을 통해 개형을 특정합니다.

->못했다면? 개형 세가지를 떠올리지 못해서인지/ 떠올렸는데 1,3번을 소거를 못해서인지/ f(0)=0을 활용하지 못해서인지등등..  어느과정에서 자기가 막혔는지를 생각합니다.

->만약 f(0)=0을 활용하지 못했다면 이유를 생각해보고 제시된 최솟값인 8/3과 비교를 해서 활용하면 편하구나. 

->다음에는 제시된 값들을 비교해서 개형을 확정하고 소거할수도 있겠다는 생각을 할 수 있겠죠.

예시2) 5월모의평가 공통21번

1.원의 중심에서 현까지 수직 이등분선을 긋는다. (필연적 사고)

그런데 현AC, CD 두종류가 있는데 현AC에 그어야 하는 이유가 뭐죠?

현AC의 길이가 제시되어있기 때문에 각도 알파에 대한 sin, cos값을 알수 있어서 긋는겁니다.

현CD는 길이가 제시되어있지 않기 때문에 일단 패스합니다.

->현AC에 바로 수직 이등분선을 긋지 못했다면? 의문을 가져 그 이유를 생각해보고

->’길이정보가 있는 현에 수직 이등분선을 먼저 긋자’로 ‘필연적사고’를 확장해보는것이죠.

2.도형에서 평행선이 있을 때 동위각, 엇각을 생각한다. (필연적 사고)

평행인 조건을 이용해 각CED를 알파로 표시합니다.

->못했다면? “평행한 조건을 인지하지 못해서인가? 또는 ‘평행한 조건을 보고도 아무생각이 안 들어서인가?’ 등 의문을 가져봅니다.

->삼각형CED가 외접원의 반지름길이도 제시된 중요한 삼각형이므로

->’중요한 삼각형과 연관된 평행조건이 있으면 동위각, 엇각등을 확인해 각을 표시해본다’ 로 1.필연적사고를 확장해봅니다.

3. ‘외접원의 반지름’을 제시했으므로 사인법칙을 쓸 수 있나 확인한다. (필연적 사고)

삼각형CED에서 외접원의 반지름의 길이, 각CED의 sin값을 이용해 CD의 길이를 구합니다.

->못했다면? 사인법칙의 정의를 잘 몰라서인가? 사인법칙은 알지만 외접원의 반지름을 보고 떠올릴정도로 공부가 덜 되어서인가? 등을 생각합니다.

4. 원의 중심으로부터 수직 이등분선을 긋는다. (필연적 사고)

처음 1번단계에서 CD의 길이를 몰라서 수직이등분선을 긋지 못했던 것을 그어줍니다.

5. 원주각과 중심각의 관계를 이용한다. (필연적 사고)

각COD와 각CAD의 관계를 확인해 각CAD를 각베타로 표시합니다.

못했다면? ‘원주각과 중심각의 관계 자체에 대한 개념이 없었는지?’, ‘알고 있었는데 적용을 못했는지?’ 등 의문을 가져봅니다.

6. CD, AC의 길이, cos베타를 알기 때문에 코사인법칙을 사용한다.

여기까지 예시였습니다.

-> 위 과정에서 얻은 것들을 반복하며 체화한다.

문제를 꼭 다시 풀고 계산할 필요는 없습니다.

시간 날 때 다시 봐주며 내 사고과정들을 체화하고 익숙하게 하는게 중요합니다.

정리를 잘 하시면 정리를 해도 좋고 아니면 모아놓고 보셔도 좋습니다.

저는 따로 정리를 하는것에 피로감을 느끼는 스타일이여서 하진 않았습니다.

대신 개념서 느낌으로 뉴런을 공부했었는데 해당단원에 위의 과정을 거친 문제 페이지를 찢어서 끼워두거나, 아이패드로 찍어놓고 시간날 때 다시 봤습니다.

요약

1 .꼭 해야할 ‘필연적 사고’를 학습하고 문제를 풀며 체화한다. (강의, 문제집 등을 통해)

2. 이때 못 넘어가고 애매한 지점이 생기면 스스로 ‘의문’을 가지고 왜 못했는지를 고민해 써둔다.

이를 해결하며 ‘필연적 사고’를 확장한다.

->위 과정을 반복하며 시간 날 때 보며 체화하고 익숙하고 당연하게 만든다.

묵묵히 공부하면 어느날 수학성적은 갑자기 오르더라구요.

다들 너무 답답해하거나 불안해하지 않고 공부했으면 좋겠습니다!