[서울대 수교과] 해설지 없이는 못 푸는 그대에게, 수II 함수의 극한(2편)
오르비선생님들 반갑습니당~ 저는 서울대 수교과 다니는 신동성 이라고 합니다! 오늘도 칼럼 쓰러 돌아왔슴니당
저는 전교꼴찌부터 시작해서 서울대에 두 번 들어왔습니다. 제일 힘들었던 게 해설지 없이는 도저히 못 풀겠고, 해설지 보면 이해는 되는데, 다음에 비슷한 거 만나면 혼자서는 또 못 푸는 거 였어요. 학원, 과외, 인강 없이 혼자 공부하느라 어떻게 해야 하는지 아무도 알려줄 사람이 없었고, 그래서 오래도 걸렸습니다.(물론 4수한 이유의 9할은 맨날 친구들이랑 놀러다녔기 때문이긴 합니다ㅋㅋ)
많은 분들이 비슷한 어려움 겪으시리라고 생각합니다! 불안감에 막연히 양치기를 하면 되겠지, n제를 보면 되겠지 생각하시겠지만, 막연히 양을 늘린다고 되는 게 아니라 생각하는 방법을 배워야 해요.
서울대 수학교육과 다니는 애는 어떤 생각을 하면서 수학을 하는지 구경하시고, 비슷한 어려움 겪으시는 분들께 도움이 될 수 있다면 좋겠습니다!
오늘은 함수의 극한 2편입니다. 1편 없이 보셔도 ㄱㅊ지만, 1편을 같이 보시면 더 이해가 잘 될겁니다!
모든 0/0꼴이 다 상수로 수렴하는 건 아니에요.
이렇게, 0/0꼴은 0으로도, 0이 아닌 상수로도, 양의 혹은 음의 무한대로도 갈 수 있습니다.
그러니까 말 그대로 결과가 정해지지 않은 부정형인 것이죠.
이러한 결과의 차이는 0/0꼴을 만드는 문제요인, 즉 (x-1)의 개수가 다르기 때문에 생깁니다.
부정형의 처리방법은 문제요인 없에기이고,
0/0꼴에서는 0을 만드는 인수의 약분, 위에서는 (x-1)의 약분이죠?
그러면 약분 후에
(x-1)의 개수가 분자에 더 많으면
약분 후에 분자만 0으로 수렴
전체는 0으로 수렴
(x-1)의 개수가 분모에 더 많으면
약분 후에 분모만 0으로 수렴
전체는 양의, 혹은 음의 무한대로 발산
(x-1)의 개수가 분자, 분모 똑같으면
약분 후에 둘 다 0이 아닌 상수로 수렴
전체는 0이 아닌 상수로 수렴
이러한 결론을 얻을 수 있습니다.
2018학년도 4월 모의고사 17번 입니다.
f(1)을 구해야 하니 f(x)를 구해야겠네요.
(가)에서
라는 걸 알 수 있겠습니다.
(나)에서
꼴체크를 해보면
(분모)->0
(전체)-> -1
이므로
(분자)->0, 즉 0/0꼴
이어야 합니다.
이때,
0/0꼴을 만드는 문제요인인 x가 분모에 2개인데
전체가 -1이라는, 0이 아닌 상수로 수렴하므로
분자에도 2개 있어야 하겠네요.
따라서
이라는 걸 알 수 있네요.
마무리
f(x)를 구하고 f(1)을 구하면 되겠습니다.
(나)조건 해석에서, 문제를 만드는 인수의 개수로 접근했습니다.
이때 특히, lim_{x->0}극한이므로
x를 인수로 몇 개 가지냐의 관점에서 생각한다면,
f(x)-3의 최저차항의 차수와 계수를 의미함을 알 수 있겠네요.
무한대 극한이 최고차항에 포커스한다면, 0극한은 최저차항에 포커스한다고 기억하시면 되겠습니다.
간단한 문제 몇 개로 0극한의 최저차항 해석에 익숙해져봅시다.
(가)에서, 무한대 극한이므로 최고차항에 주목
(나)에서, 0극한이이므로 최저차항에 주목
종합하면
(가)에서, 무한대 극한이므로 최고차항에 주목
(나)에서, 0극한이이므로 최저차항에 주목
종합하면
쉽죠? 이제 조금 어려운 거 볼건데, 똑같습니다.
2020 6모 20번, 정답률 37%였습니다.
5지선다라서 찍어도 정답률 20%에 정답갯수로 얼추 추론까지 가능하다는 걸 고려하면 나름 어려운 문제였네요.
그치만 개쉬움ㅋㅋ 걍 위에서 하던거 똑같이하면댐니다
f(1)의 최댓값을 찾으라고 했으니, f(x)를 구해야 하겠네요.
이때 "최댓값"이니 f(x)가 하나로 확정되지 않을 겁니다.
n에 따라 다양한 f(x)가 나오겠네요.
편의상 왼쪽 조건을 (가), 오른쪽 조건을 (나)라고 합시다.
(가)에서, 무한대 극한이므로 최고차항에 주목
(나)에서, 0극한이이므로 최저차항에 주목
이제 n=1,2,3,...을 넣어 생각해보면
개쉽죠? 30초컷 ㅅㄱ
이상으로 오늘의 이야기 마치겠습니다!
lim를 만나면 꼴체크를 그냥 반사적으로 하시는 게 젤 중요하고요,
부정형이면 문제요인에 포커스하셔서, 문제요인이 누구고, 어떻게 없에줄 거고, 인수의 개수가 어떨까 등등을 고려하시면 좋습니다.
또, 다항식에서 무한대 극한은 최고차항에 관한 정보라는 건 많이들 아시지만
0극한은 최저차항이라는 건 그렇게 많이 아시지는 않습니다. 이것 또한 가져가시면 유용할 겁니다!
이상입니다! 읽느라 수고하셨슴^^7
고생한 동성이를 위해 추천과 팔로우 해주시면 압도적감사!!
그리고 제가 오르비에서 만든 학원인 디오르비에서 강의하게 되었습니당!
무료특강과 미적분특강 둘 다 있어요!
2/26 무료특강
https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSckK1w_OSL_b_HxRZnhYQVju1Qdh_VwjvvUsx-gBcK2wxdchg/viewform
현강& 라이브 둘 다 진행하구요,
수학I 삼각함수의 활용, 수학II 함수의 극한, 연속, 미분가능성을 다루며
칼럼과 비슷한 컨셉으로 생각하는 방법을 전달드릴 예정입니다.
칼럼에는 귀찮아서 안 쓴 더 디테일한 이야기들, 더 풍성한 문제들, 수업 내용 정리한 프린트도 나눠드릴 예정이니깐요, 많관부~~
3월에는 미적분 선택하신 분들 대상으로 특강도 합니다!
3/5~3/26 미적분 특강
https://academy.orbi.kr/intro/teacher/386/l
미적분 주요 준킬러, 킬러 유형들을 다루며, 정말 핵심적이고 유용한 것들 압축해서 전해드리고자 합니다.
칼럼에서 전해드린 생각하는 방법에 더해서
조건을 필요충분적으로 해석하고, 솔루션을 세우고, 이행하고, 식을 다루고, 그래프를 그리고, 추론하는 등
여러 가지 전해드리고자 합니다!
수업 후에는 혼자서 복습할 수 있는 수업 내용 정리와 함께 관련 문제 수록된 주간지도 나눠드릴 예정입니다!
역시나 칼럼보다 훨씬 디테일한 이야기로 찾아갈 예정입니다! 많관부~~
*덧붙여서, 지난번에도 이야기했지만 함수의 극한 자체가 굉장히 러프한 단원입니다. 함수의 극한의 엄밀한 정의, 그러니까 엡실론-델타 논법은 수학과 혹은 수학교육과 전공 과목의 첫번째 벽으로서, 상당히 어려워요. 그래서 고등학생들에게는 엄밀하게 가르칠 수가 없어서 러프하게 가르치는 거고요.
때문에 오늘도 이해의 편의성을 위해 엄밀하지 않은 표현들이 가끔 있습니다. 교육이 늘 그러하듯 어떠한 내용을 핵심적으로 다룰 것인지에 따라 적정한 수준에서의 맺고 끊음이 있어야 한다고 생각하는데요, 100%의 엄밀함에 집착하기보다는 적정한 수준을 추구하고자 했습니다.
100% 엄밀하거나 정확하지 않은 부분들을 찾아내셨다면, 한번 보완해보시는 것도 좋은 공부가 될거에요! 그럼이만 빠빠~~~
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오늘 글도 정말 도움됐습니다 선생님!
읽다보니 궁금해진게 14번처럼 (나) 조건을 보고 인수가 -4x²가 아닌 최저차항이 -4x²이란 사실은 어떻게 도출해내신건가요?
지난번에도 댓글 남겨주셨었는데 이번에도 감사합니다 선생님ㅎㅎㅎ 꾸준히 봐주시는
분이 계셔서 좋네요
물어보신 부분 답변 드리자면, 분자인 f(x)g(x)를 편의상 h(x)라고 해볼게요. 우선은 글에서 설명한 건데, h(x)가 x^2를 인수로 가진다는 걸 이해하셔야 합니다!
그러면, h(x)=x^2(a+bx+cx^2+…) 이런 식으로 묶이겠죠? h(x)의 최고차항이 몇차인지 모른다 하더라도 저런식으로 무한히 늘어놓을 수 있을 거에요.
이때 분자, 분모를 x^2로 나누면(a+bx+cx^2+…) 이런 식이 되고요,
여기에 lim_{x->0}을 사용하면 a+0+0+…해서, 최저차항의 계수인 a만 남게 됩니다. 그래서 최저차항의 계수 a=-4라는 걸 알 수 있어요!
답변감사합니다!!
X가 0으로 갈때 최저차항 구하는 방식은 분모가 x의 n승꼴로 수렴할때만 쓰이는거죠??
X가 -1로 갈때 분모가 x+1 이런식으로 돼있을때도 써먹을수있는 방법인가 궁금해요!
그때는 “(x+1)을 인수로 몇 개 가지냐”로 해석 가능합니다! 그렇지만 그렇게 되면 “최저차항” 과는 거리가 멀어지겠죠?
이해 잘 안 되면 다시 물어보셔도 됩니다ㅎㅎ 수험생활 화이팅하십쇼선생님~~
나중에 공통 강좌도 오픈하실 생각 있으신가요..?
안그래도 디오르비 학원과 공통 강좌에 대해서 협의중이라서요, 공통 하게 돠면 칼럼 말미에 홍보해보겠습니다ㅋㅋㅋ 관심 감사함다!
12번에 답이 2번 14인건가요? 5라고 해 놓으신것 같아서요.
앗 넵 맞습니다선생님! 제가 숫자에약합니다ㅎㅎㅎ 감사합니다!